Pythagoras

Rumus Pythagoras bisa dibuktikan sebagai berikut. Misalkan kita memiliki segitiga
siku-siku berikut :

Jikasegitiga diputar 90^o searah jarum jam maka akan kita peroleh segitiga berikut (gambar putus-putus). Jika segitiga yang putus-putus ini kita geser maka kita peroleh sebagai berikut

Bentuk di atas bisa kita anggap sebagai trapesium. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut

Luas trapesium tersebut sama dengan jumlah luas tiga buah segitiga
L = 2L₁ + L₂

½ (a + b)(a+ b) = 2. ½ ab + ½ c²
(a + b)² = 2ab + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

Maka terbuktilah rumus pythagoras

sinus lurus

Luas Segitiga

Luas segitiga sering dituliskan ½ alas ´ tinggi.

Rumus ini begitu mudah dibuktikan.

Jika segitiga tersebut segitiga siku-siku maka pembuktiannya sebagai berikut

Tampak bahwa luas yang diarsir adalah setengah luas persegi panjang sehingga L = ½ a´t

Jika segitiga tersebut merupakan segitiga lancip maka buktinya sebagai berikut

Luas ABCD = yt ¾® L_I = ½Luas ABCD = ½ yt

Luas CDEF = xt ¾® L_II = ½Luas CDEF = ½ xt

Luas DACE = L_I + L_II = ½ yt + ½ xt = ½ (y + x) t = ½ at

Untuk segitiga tumpul, luasnya tetap ½ at dengan bukti sbb :

Luas DPQS = Luas DPRS -
Luas DQRS = ½ (a + b)t - ½ bt = ½ at + ½ bt - ½ bt = ½ at

sinus lurus

Phytagoras

Apa yang bisa disimpulkan dari segitiga berikut ?Pada segitiga ini pasti bisa disimpulkan kalau a² + b² = c²

Tapi bagaimana membuktikan rumus ini ?

Salah satu bukti adalah sbb :

KL = LM = MN = NP = c

SM = TN = UK = VL = b

SL = TM = UN = KV = a

ST = TU = UV = VS = b – a

Luas DSLM = Luas DTMN = LuasDUNK = LuasDVKL

Luas KLMN = Luas STUV + 4 × Luas SLM

c²= (b – a)² + 4 . ½ . ab

c²= b² – 2ab + a² + 2ab

c²= b² + a²

a²+ b² = c²

Angka berulang

Penguraian bentuk kuadrat

Seperti kita ketahui bahwa jika kita menguraikan bentuk kuadrat (a+b)^2 bisa kita peroleh sebagai berikut

(a + b)^2 = (a + b)(a + b)= a(a + b) + b(a + b)
= a^2 + ab + ba + b^2
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2

Jika kita menguraikan bentuk (a - b)^2 maka bisa kita peroleh sebagai berikut

(a - b)^2 = (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b)
= a^2 - ab - ba + b^2
= a^2 - ab - ab + b^2
= a^2 - 2ab + b^2

Pembuktian seperti di atas merupakan pembuktian dengan aljabar. Kita bisa juga membuktikan bentuk di atas dengan geometri, caranya adalah sebagai berikut




Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Sedangakan (a - b)^2 bisa kita dapat dari gambar geometri sebagai berikut



Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Dengan cara ini kita bisa menguraikan (a + b+ c)^2 dengan memakai gambar geometri sehingga diperoleh

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

atau kita bisa juga menguraikan (a + b + c + d)^2 dengan memakai geometri sehingga diperoleh

(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Bahkan kita bisa juga menguraikan (a + b)^3 dengan menggambar kubus sehingga diperoleh

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

ok, selamat mencoba membuktikan 3 kesamaan di atas

angka berulang

bilangan 666...666

Pernahkah menjumlahkan bilangan asli sampai 6, atau 66, atau 666 ? Di sini akan kita jumpai keunikan-keunikan tertentu
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211
1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111
1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111
1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111
1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111
Tapi kalau kita buat soal dengan membalik kondisi di atas, mungkin soal ini akan mirip sama soal olimpiade atau berbau olimpiade.
misalnya

1 + 2 + 3 + ...+ n = 222...222111...111 (banyak angka 1 dan 2 masing-masing 2008 digit)
Tentukan nilai n

Para pembaca pasti bisa menebak jawabannya adalah 666...666 (sebanyak 2008 digit), karena melihat pola soal di atas. Gimana kalau kita tidak melihat soal d atas? Gimana pula menjawabnya secara umum?

Angka berulang

Pola-pola pengkuadratan bilangan dan aljabar yang menarik

Pernahkan terfikir olehmu untuk mengkuadratkan bilangan 1, 11, 111, dst. Perhatikan bahwa pengkuadratan bilangan ini memiliki pola-pola sebagai berikut :

1^2 = 1

11^2 = 121

111^2=12321

1111^2= 1234321

11111^2=123454321

111111^2=12345654321

1111111^2=1234567654321

11111111^2=123456787654321

111111111^2=12345678987654321

Perhatikan bahwa bentuk pengkuadratan bilangan di atas mirip dengan bentuk pengkuadratan aljabar sebagai berikut

(x+1)^2=x^2+2x+1

(x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1

(x^3+x^2+x+1)^2

=x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1

(x^4+x^3+x^2+x+1)^2

=x^8+2x^7+3x^6+4x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1

dst

Perkenalan

sinus lurus

seorang guru bertanya kepada muridnya yang namanya iwan

Guru : Iwan, grafik sinus bentuknya seperti apa?
Iwan : lurus bu
Guru : Lho, kok bisa? coba jelaskan
Iwan : Ya gampang aja bu, sumbu tegaknya sumbu y, dan sumbu mendatarnya sumbu sin x
Guru : ???

(Bagi yang bingung, grafik y= x adalah lurus, karean sumbu koordinat adalah x dan y

Jika dibuat grafik y = p maka grafik ini akan lurus asalkan sumbu koordinat adalah sumu y dan p

Grafik y = sin x akan lurus jika sumbu koordinat adalah sumbu y dan sin x)

Perkenalan