Matematika

SEGERA TERBIT

"Buku MASTER SERI MATEMATIKA SMA"

PENERBIT ERLANGGA
(Kumpulan rumus cepat matematika yang benar dan akurat)

Penulis :
AbdulAziz, S.Si dan Muhammad Son Muslimin, ST

TESTIMONI

“Wow, Buku ini memberikan penyelesaian alternatif yang sangat cepat dan akurat “ –
Sarwadi Ph.D – ( Pembantu Dekan I Jurusan Matematika UNDIP)

” Buku ini menampilkan inovasi baru dalam menyelesaikan masalah matematika” – Dr. Widowati – ( Ketua Jurusan Matematika UNDIP )

”Buku ini memberikan penyelesaian yang cepat dan akurat tanpa meninggalkan kerangka teori yang ada ” –Farikhin M.Si –
(Dosen Luar Biasa UNDIP, Pakar International Mathematic Olympiad )

“ Buku ini penuh dengan kreativitas “
- Drs. Yitno Widya Saptono- (Ketua MGMP Matematika Kota Semarang)

” Kekuatan buku ini terletak pada kreativitasnya, sehingga bisa melengkapi kekurangan pada buku –
buku lainnya ” - Drs. Supriyanto - (ketua MGMP Fisika kota Semarang)

” Buku ini layaknya peta harta karun karena memuat rumus cepat dengan benar artinya rumus cepat karena kita benar – benar paham konsep
–Nanang Susyanto – Peraih
medali perunggu ajang IMC 2005 di Bulgaria

“Bukunya bagus....nggak cuma nampilin cara praktisnya aja tapi ada pembuktian rumus so nggak perlu ragu menggunakanya ”

Danang Setiabudi – SMA Taruna Nusantara – (
Peraih Medali Emas Bidang Matematika Ajang OSN 2006 dan 2007)

Buku yang bagus,tidak sekedar rumus cepat yang ditekankan melainkan bagaimana cara mencari rumus tersebut ”

Khoirulanam – Alumni SMA Semesta Semarang –
D Bogazici and D Metu University (Turki) (Peraih Medali Perak Bidang Matematika Ajang OSN 2007)

“ Bukunya hebat, penuh dengan soal – soal tantangan “

Ilman kurniadi Alumni SMA N 68 –Jakarta – (Mahasiswa Teknik Lingkungan ITB)

” Buku yang bagus, komplit,& gampang dimengerti...”

Yunita– Alumni SMA N 3 Semarang – ( Mahasiswi Farmasi UGM )

” Two tumbs up ! ga’ cuma tahu cara cepetnya aja, pembuktianya pun logis...pas buangeeet buat anak SMA.

Rahmat Adi Pamungkas – Alumni SMA N 5 Semarang – (Mahasiswa Tekhnik Elektro UNDIP )

“Bagi siapapun yang mencintai dan ingin mencintai matematika, wajib beli buku ini ”

Saraswati – Alumni SMA Kolose Loyola –

“ Buku ini layak dibaca bagi siapapun yang menginginkan belajar matematika secara menyenangkan “

Sartono Al Kadiri (Finalis Olimpiade mateamtika tingkat nasional 2006 )

Luas Jajaran genjang

Jajaran genjang memiliki rumus Luas= alas x tinggi

Rumus luas jajaran genjang ini didapat dari bentuk berikut

Perhatikan bahwa jika L₃ dipindahkan ke kiri maka bentuknya menjadi
sbb:

Dari gambar terakhir ini jelas terlihat bahwa bentuknya menjadi sebuah persegi panjang dengan panjang a dan lebar t, sehingga luasnya menjadi

L = axt

Luas = alas x tinggi

Eksponen

Kenapa

a^x.a^y = a^x+y?

Perhatikan bahwa

a^x = a.a.a.a….a (sebanyak x)

a^y = a.a.a.a….a (sebanyak y)

maka

a^x.a^y = a.a.a.a….a (sebanyak x). a.a.a.a….a (sebanyak y)

a^x .a^y= a.a.a.a….a (sebanyak x + y)

a^x.a^y = a^x+y

Kenapa a^x/a^y = a^{x - y} ?

Dengan memakai bentuk di atas maka

a^x/a^y = {a.a.a.a….a (sebanyak x)} : { a.a.a.a….a (sebanyak y)}

a^x /a^y= a.a.a.a….a (sebanyak x – y )

Kenapa a^x/a^y = a^{x – y}

Kenapa a^o = 1?

Perhatikan bahwa

a^{x – y} = a^x/a^y

Jika kita pilih x = p dan y = p maka

a^{p – p} = a^p /a^p

(Perhatikan
bahwa ruas kiri pangkatnya habis (nol), sedangkan ruas kanan pembilang dan
penyebutnya sama. Dengan demikian ruas kanan bernilai satu)

Jadi

a^o = 1

Logaritma

Kita seringkali memakai rumus

^alog b + ^alog c = ^alog bc

^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

akan tetapi banyak di antara kita yang tidak tahu dari mana asalnya rumus ini. Melalui
postingan ini saya akan mencoba membuktikan kedua rumus tersebut.

Jika a^x = b maka x = ^alog b

Jika a^y = c maka y = ^alog c

Jika kita menglikan a^x dengan a^y maka

a^x.a^y = bc

a^x+y = bc

x+y = ^alog(bc)

^alog b + ^alog c = ^alog bc

Jika kita membagikan a^x dengan a^y maka

a^x/a^y = b/c

a^{x – y} = b/c

x – y = ^alog (b/c)

^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

Pythagoras

Rumus Pythagoras bisa dibuktikan sebagai berikut. Misalkan kita memiliki segitiga
siku-siku berikut :

Jikasegitiga diputar 90^o searah jarum jam maka akan kita peroleh segitiga berikut (gambar putus-putus). Jika segitiga yang putus-putus ini kita geser maka kita peroleh sebagai berikut

Bentuk di atas bisa kita anggap sebagai trapesium. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut

Luas trapesium tersebut sama dengan jumlah luas tiga buah segitiga
L = 2L₁ + L₂

½ (a + b)(a+ b) = 2. ½ ab + ½ c²
(a + b)² = 2ab + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

Maka terbuktilah rumus pythagoras

Luas Segitiga

Luas segitiga sering dituliskan ½ alas ´ tinggi.

Rumus ini begitu mudah dibuktikan.

Jika segitiga tersebut segitiga siku-siku maka pembuktiannya sebagai berikut

Tampak bahwa luas yang diarsir adalah setengah luas persegi panjang sehingga L = ½ a´t

Jika segitiga tersebut merupakan segitiga lancip maka buktinya sebagai berikut

Luas ABCD = yt ¾® L_I = ½Luas ABCD = ½ yt

Luas CDEF = xt ¾® L_II = ½Luas CDEF = ½ xt

Luas DACE = L_I + L_II = ½ yt + ½ xt = ½ (y + x) t = ½ at

Untuk segitiga tumpul, luasnya tetap ½ at dengan bukti sbb :

Luas DPQS = Luas DPRS -
Luas DQRS = ½ (a + b)t - ½ bt = ½ at + ½ bt - ½ bt = ½ at

Phytagoras

Apa yang bisa disimpulkan dari segitiga berikut ?Pada segitiga ini pasti bisa disimpulkan kalau a² + b² = c²

Tapi bagaimana membuktikan rumus ini ?

Salah satu bukti adalah sbb :

KL = LM = MN = NP = c

SM = TN = UK = VL = b

SL = TM = UN = KV = a

ST = TU = UV = VS = b – a

Luas DSLM = Luas DTMN = LuasDUNK = LuasDVKL

Luas KLMN = Luas STUV + 4 × Luas SLM

c²= (b – a)² + 4 . ½ . ab

c²= b² – 2ab + a² + 2ab

c²= b² + a²

a²+ b² = c²