Luas Segitiga

Luas segitiga sering dituliskan ½ alas ´ tinggi.

Rumus ini begitu mudah dibuktikan.

Jika segitiga tersebut segitiga siku-siku maka pembuktiannya sebagai berikut

Tampak bahwa luas yang diarsir adalah setengah luas persegi panjang sehingga L = ½ a´t

Jika segitiga tersebut merupakan segitiga lancip maka buktinya sebagai berikut

Luas ABCD = yt ¾® L_I = ½Luas ABCD = ½ yt

Luas CDEF = xt ¾® L_II = ½Luas CDEF = ½ xt

Luas DACE = L_I + L_II = ½ yt + ½ xt = ½ (y + x) t = ½ at

Untuk segitiga tumpul, luasnya tetap ½ at dengan bukti sbb :

Luas DPQS = Luas DPRS -
Luas DQRS = ½ (a + b)t - ½ bt = ½ at + ½ bt - ½ bt = ½ at

sinus lurus

Phytagoras

Apa yang bisa disimpulkan dari segitiga berikut ?Pada segitiga ini pasti bisa disimpulkan kalau a² + b² = c²

Tapi bagaimana membuktikan rumus ini ?

Salah satu bukti adalah sbb :

KL = LM = MN = NP = c

SM = TN = UK = VL = b

SL = TM = UN = KV = a

ST = TU = UV = VS = b – a

Luas DSLM = Luas DTMN = LuasDUNK = LuasDVKL

Luas KLMN = Luas STUV + 4 × Luas SLM

c²= (b – a)² + 4 . ½ . ab

c²= b² – 2ab + a² + 2ab

c²= b² + a²

a²+ b² = c²

Angka berulang

Penguraian bentuk kuadrat

Seperti kita ketahui bahwa jika kita menguraikan bentuk kuadrat (a+b)^2 bisa kita peroleh sebagai berikut

(a + b)^2 = (a + b)(a + b)= a(a + b) + b(a + b)
= a^2 + ab + ba + b^2
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2

Jika kita menguraikan bentuk (a - b)^2 maka bisa kita peroleh sebagai berikut

(a - b)^2 = (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b)
= a^2 - ab - ba + b^2
= a^2 - ab - ab + b^2
= a^2 - 2ab + b^2

Pembuktian seperti di atas merupakan pembuktian dengan aljabar. Kita bisa juga membuktikan bentuk di atas dengan geometri, caranya adalah sebagai berikut




Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Sedangakan (a - b)^2 bisa kita dapat dari gambar geometri sebagai berikut



Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Dengan cara ini kita bisa menguraikan (a + b+ c)^2 dengan memakai gambar geometri sehingga diperoleh

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

atau kita bisa juga menguraikan (a + b + c + d)^2 dengan memakai geometri sehingga diperoleh

(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Bahkan kita bisa juga menguraikan (a + b)^3 dengan menggambar kubus sehingga diperoleh

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

ok, selamat mencoba membuktikan 3 kesamaan di atas

angka berulang

bilangan 666...666

Pernahkah menjumlahkan bilangan asli sampai 6, atau 66, atau 666 ? Di sini akan kita jumpai keunikan-keunikan tertentu
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211
1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111
1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111
1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111
1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111
Tapi kalau kita buat soal dengan membalik kondisi di atas, mungkin soal ini akan mirip sama soal olimpiade atau berbau olimpiade.
misalnya

1 + 2 + 3 + ...+ n = 222...222111...111 (banyak angka 1 dan 2 masing-masing 2008 digit)
Tentukan nilai n

Para pembaca pasti bisa menebak jawabannya adalah 666...666 (sebanyak 2008 digit), karena melihat pola soal di atas. Gimana kalau kita tidak melihat soal d atas? Gimana pula menjawabnya secara umum?

Angka berulang

Pola-pola pengkuadratan bilangan dan aljabar yang menarik

Pernahkan terfikir olehmu untuk mengkuadratkan bilangan 1, 11, 111, dst. Perhatikan bahwa pengkuadratan bilangan ini memiliki pola-pola sebagai berikut :

1^2 = 1

11^2 = 121

111^2=12321

1111^2= 1234321

11111^2=123454321

111111^2=12345654321

1111111^2=1234567654321

11111111^2=123456787654321

111111111^2=12345678987654321

Perhatikan bahwa bentuk pengkuadratan bilangan di atas mirip dengan bentuk pengkuadratan aljabar sebagai berikut

(x+1)^2=x^2+2x+1

(x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1

(x^3+x^2+x+1)^2

=x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1

(x^4+x^3+x^2+x+1)^2

=x^8+2x^7+3x^6+4x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1

dst

Perkenalan

sinus lurus

seorang guru bertanya kepada muridnya yang namanya iwan

Guru : Iwan, grafik sinus bentuknya seperti apa?
Iwan : lurus bu
Guru : Lho, kok bisa? coba jelaskan
Iwan : Ya gampang aja bu, sumbu tegaknya sumbu y, dan sumbu mendatarnya sumbu sin x
Guru : ???

(Bagi yang bingung, grafik y= x adalah lurus, karean sumbu koordinat adalah x dan y

Jika dibuat grafik y = p maka grafik ini akan lurus asalkan sumbu koordinat adalah sumu y dan p

Grafik y = sin x akan lurus jika sumbu koordinat adalah sumbu y dan sin x)

Perkenalan

Angka berulang

Ada suatu bilangan, jika bilangan itu dikali dengan 2, 3, 4 dan 5 maka akan diperoleh bilangan yang angka-angkanya dibolak-balik dari angka-angka semula. woow, bilangan apa itu? Bilangan itu adalah

142857

Jika dikali 2 maka diperoleh bilangan 285714
Jika dikali 3 maka diperoleh bilangan 428571
Jika dikali 4 maka diperoleh bilangan 571428
Jika dikali 5 maka diperoleh bilangan 714285
Jika dikali 6 maka diperoleh bilangan 857142

Aneh bukan? Apakah masih ada bilangan yang lain yang seperti itu? Jawabannya adalah ada. Bilangan itu adalah

076923

Bilangan ini saya anggap terdiri dari 6 angka (setengah memaksa) , yaitu menambahkan angka nol di depannya. Bilangan itu kita perlakukan sebagai berikut
Jika dikali 3 maka diperoleh bilangan 230769
Jika dikali 4 maka diperoleh bilangan 307692
Jika dikali 9 maka diperoleh bilangan 692307
Jika dikali 10 maka diperoleh bilangan 769230
Jika dikali 12 maka diperoleh bilangan 923076

Sekarang bilangan 076923 kita perlakukan sebagai berikut
Jika dikali 2 maka diperoleh bilangan 153846
Jika dikali 5 maka diperoleh bilangan 384615
Jika dikali 6 maka diperoleh bilangan 461538
Jika dikali 7 maka diperoleh bilangan 538461
Jika dikali 8 maka diperoleh bilangan 615384
Jika dikali 11 maka diperoleh bilangan 846153

Nah bilangan-bilangan ini memiliki sifat-sifat seperti itu, memang aneh dan tidak biasanya. Pertanyaannya adakah bilangan dengan digit yang lebih banyak yang memiliki sifat seperti itu ? Jawabannya ADA. Bilangan itu nanti akan saya bahas pada materi berikutnya. Selamat belajar.
(Muhammad Son Muslimin)