MATEMATIKA CERIA

Perkalian Minus

2012-01-29T15:11:00.003+07:00

Ada yang menanyakan "min kali min apa?" .... mendadak ada yang menjawab "lompat". Jawaban ini tentu saja membuat orang terheran-heran.

...... maksud nya ada orang yang panggilannya "Min" .... ketika di depan Min ada kali (parit) ... dia diberi peringatan "Min, kali Min" ..... lansung Min melompat ...

(Sory ya, bercanda dulu .... biar ga tegang .... sekarang kita mulai serius)

Perhatikan garis bilangan berikut,

Bilangan positif bisadikatakan mengarah ke kanan, sedangkan bilangan negatif mengarah ke kiri.

Pada saat pertama kali kita belajar perkalian maka tentunya kita hanya mengalikan dua bilangan positif, sehingga bisa dikatakan

positif x positif = positif

Contoh, misalnya 3x2, artinya ada bilangan 2 sebanyak 3 buah

jadi,

3x2 = 2 + 2 + 2 = 6

Jika diperhatikan dari jaraknya ke angka nol maka angka 2 setelah dikali dengan 3 maka akan menjauh dari 0 sebanyak 3 kali

Jika kita mengalikan 2x3 artinya ada bilangan 3 sebanyak 2 buah

jadi,

2x3 = 3 + 3 = 6

Jika diperhatikan dari jaraknya ke angka nol maka angka 3 setelah dikali dengan 2 maka akan menjauh dari 0 sejauh 2 kali

Dari segi arti memang berbeda, tapi dari segi hasil adalah sama.

karena hasilnya sama maka

3x2 = 2x3

bentuk terakhir ini sering disebut sifat komutatif, artinya dibolak-balik sama.

Jadi perkalian bersifat komutatif.

Kesimpulan

1. axb artinya ada b sebanyak a

2. axb = bxa

3. dari bentuk axb bisa dikatakan bilangan b setelah dikali dengan a, akan menjauh dari nol sejauh a kali.

Sekarang kita mulai perkalian bilangan dengan bilangan negatif

misalnya 5x(-2)

artinya anad -2 sebanyak 5 (dari kesimpulan 1)

jadi,

5 x (-2) =(-2) + (-2)+(-2)+(-2)+(-2) = -10

dari kesimpulan 3 bisa dikatakan, bilangan -2 setelah dikali dengan 5 akan menjauh dari nol sejauh 5 kali, sehingga diperoleh -10

Karena -2 ada di sebelah kiri nol, maka menjauh 5 kali berarti makin ke kiri sejauh 5 langkah (satu langkah bernilai 2).

5 x(-2) = -10

positif xnegatif = negatif

Sekarang bagaimana dengan negatif kali positif ?

misalnya (-2)x5

ingat dari kesimpulan nomor 2, perkalian bersifat komutatif

(-2)x5 = 5 x(-2) = -10

Jadi,

(-2)x5 = -10

negatif x positif = negatif

Perhatikan bahwa (-2)x5 = -10 artinya bilangan 5 dijauhkan terhadap nol sebanyak 2 kali dengan arah berlawanan dengan 5. (lima menngarah ke kanan, sementara -10 mengarah ke kiri)

Jadi perkalian dengan bilangan negatif menyebabkan arahnya berlawanan.

Kesimpulan 4 : (jika a bil positi, .... atau bisa dikatakan -a bilangan negatif)

-a x b berarti b menjauh sebanyak a kali lipat dengan arah berlawanan dengan arah b.

sekarang bagaimana dengan (-4)x(-3)

berdasarkan kesimpulan 4, arahnya harus melawan arah -3. Karena (-3) mengarah ke kiri, hasilnya harus mengarah ke kanan, dan ini berarti hasilnya positif.

Jadi,

(-4)x(-3) = 12

negatif x negatif = positif

Sistem Persamaan Linear

2012-01-01T08:32:00.002+07:00

Sistem persamaan linear merupakan kumpulan dari beberapa persamaan linear. Banyaknya persamaan tergantung pada berapa banyaknya variabel. Misalnya ada 2 variabel, yaitu x dan y, maka akan dibutuhkan 2 persamaan, misalnya

ax + by = e
cd + dy = f

Dengan adanya 2 persamaan ini maka diharapkan sistem persamaan ini akan memiliki tepat 1 penyelesaian. Jika ada 1 persamaan saja maka persamaan akan memiliki banyak penyelesaian.

Kenapa tadi hanya dikatakan diharapkan ?
Karena bisa jadi dengan 2 persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian. Hal ini terjadi jika kedua persamaan merupakan garis yang sejajar.
atau bisa dikatakan, sistem persamaan linear tersebut mempunyai sifat ad-bc = 0

Terkadang ada sistem persamaan linear yang sifatnya hanya main-main
Misalnya

a + b + c + d = 6
b + c + d + e = 16
c + d + e + f = 21
d + e + f + g = 3
e + f + g + h = 11
Tentukan n ilai dari
a + b + c + d + e + f + g + h

Jawab
Kalau kita lihat bentuk di atas memiliki 8 variabel, sementara hanya ada 5 persamaan. Tentunya sistem persamaan tersebut memiliki banyak penyelesaian. Jadi, kita akan kesulitan menntukan nilai masing-masing variabel, karena banyak kemungkinan.
AKan tetapai perhatikan bahwa soal tidak menanyakan nilai masing-masing variabel. Soal hanya menanyakan jumlah semua variabel.
Jadi kita tinggal menjumlahkan persamaan pertama dan terakhir

Jadi,
a + b + c + d = 6
e + f + g + h = 11
kalau kedua persamaan dijumlahkan maka diperoleh
a + b + c + d + e + f + g + h = 17

sin dan cos

2011-11-20T20:05:00.003+07:00

Kita sudah sering mengetahi bahwa
sin²x + cos²x = 1
Dari manakah asal rumus ini ?

Untuk mengetahuinya maka gunakan pythagoras

a² + b² = r²
(r sin x)² + (r cos x)² = r²
r² sin ² x + r² cos ² x = r ²
Jika dibagi dengan r² maka diperoleh
sin²x + cos²x = 1

Rumus ini seringkali dibalik sehingga
sin²x = 1 - cos²x
atau
cos²x = 1 - sin²x

Jika
sin²x + cos²x = 1
dibagi dengan cos²x maka diperoleh
tan² x + 1 = sec² x

Jika
sin²x + cos²x = 1
dibagi dengan sin²x maka diperoleh
1 + cot² x = csc² x

sudut-sudut bangun datar

2011-10-28T12:20:00.007+07:00

Segitiga memiliki 3 sudut. Jumlah ketiga sudutnya alaha 180^o. Kenapa 180^o? Sebelum dibuktikan, kita mesti tahu bahwa
* satu putaran penuh adalah 360^o.
* setengah putaran atau satu garis lurus adalah 180^o.

Perhatikan segitiga ABC berikut

Jika kita tarik garis yang melalui C dan sejajar AB maka akan kita peroleh dua pasang sudut yang berseberangan. Sudut yang berseberangan besarnya pasti sama. Dengan demikian sudut B yang di bawah berseberangan dengan yang di atas, begitu juga sudut C

Jika kita perhatikan pada puncak C, terdapat sudt A, B, dan C yang jumlahnya membentuk satu garis lurus. Jadi :
sudut A + sudut B + sudut C = 180^o

untuk jumlah sudut segi empat, silakan klik di sini

Belajar Matematika

2011-10-06T06:18:00.003+07:00

Belajar matematika, sebenarnya tidak jauh berbeda dengan bermain game. Pada dasarnya matematika menyenangkan bagi semua orang. Hanya saja matematika ini memiliki banyak sekali level. Jika kita mendapati matematika tidak sesuai dengan level kita, maka kita tidak akan menyukainya.

Sama persis dengan main game. Jika seseorang bermain game dengan level yang tidak sesuai (terlalu sulit) maka orang tersebut tidak akan menyukainya. Untuk menyukainya seseorang harus bermain dari level awal, setelah menguasai maka dia bisa menaikkan levelnya, menuju ke level yang lebih sulit.

Nah, matematika memiliki banyak sekali level. Untuk mudahnya, anggap saja level ini sama dengan kelas yang ada di sekolah. Mulai dati kelas 1, kelas 2, kelas 3, .... dan seterusnya samapai kelas 12.... belum lagi tingkatan yang ada di perguruan tinggi. Jika seseorang kurang menguasai matematika di kelas tertentu, maka untuk kelas lanjutannya dia tidak akan bisa. Ini tentunya membuat orang tersebut semakin tidak suka dengan matematika. Semakin dia tidak suka, maka potensi yang digunakan untuk belajar matematika semakin kecil. Begitulah efek ini terus berlanjut dan saling mempengaruhi.

Jika seseorang tidak menguasai trigonometri yang ada di kelas 10, tentunya di kelas 11 dia semakin tidak bisa dengan trigonometri. semakin dia tidak bisa trigonemetri kelas 11 maka dia makin tidak menyukainya, dan efek berikutnya dia tidak mau mempelajarinya. Efek lanjutannya bisa ditebak, dia makain tidak menyukai trigonometri.

Nah bagi untuk mencegah supaya kita tidak benci matematika, mulai sekarang perbanyaklah latihan soal-soal matematika. Mulailah dari soal-soal yang mudah, dan saya sarankan 70% soal yang kita kerjakan adalah soal-soal yang mudah, supaya kita selalu merasa bisa. Anehnya kalau kita banyak latihan soal-soal yang mudah, maka soal yang sulit akan terasa mudah, karena pada dasarnya soal yang sulit adalah kumpulan dari berbagai soal-soal yang mudah.

Jika anda masih membenci matematika, luangkalah selama 90 hari untuk mengerjakan soal-soal matematika yang mudah, setiap hari 2 jam, jika tidak bisa 2 jam, 1 jam saja, jiika 1 jam tidak bisa, 1/2 jam juga boleh, yang penting anda lakukan setiap hari. Setelah 90 hari maka anda akan makin suka dengan matematika. Dengan semakin sukanya anda dengan matematika, maka anda makin ingin meluangkan waktu lagi untuk mempelajari matematika. Akibatnya kemampuan anda semakin meningkat. Setelah kemampuan anda meningkat, anda akan semakin suka dengan matematika.

Seringkali terjadi hal-hal yang sangat ironis. Ketik seorang siswa disuruh mengerjakan soal matemamatika, dia mengatakan, "ah, ini sudah bisa". Akibatnya dia tidak mau mengerjakannya. Ketika gurunya memberikan soal yang lebih sulit, dia memengatakan,"wah kalau ini saya tidak bisa." Karena tidak bisa, dia juga tidak mau mengerjakannya. Jadi maunya apa? soal mudah tidak mau mengerjakan, soal sulit juga tidak mau ... Orang yang seperti itu pada intinya memang malas, dan inilah yang menyebabkan dia tidak bisa dan tidak suka matematika.

Untuk itu kerjakanlah soal yang sekiranya kamu bisa. Jika tidak bisa, pikirkanlah minimal 5 menit, atau mungkin 10 menit. Jika masih tidak bisa, carilah soal-soal lain yang lebih mudah, jangan lansgsung menyerah. Luangkan ini setiap hari 2 jam, maka dalam 90 hari anda akan menuai hasil, tanpa sadar nilai matematika kamu di sekolah akan semakin naik, kamu jadi suka dengan matematika, dan akhirnya kamua akan meluangkan waktu lebih banyak, dan semakin lama akan semakin bisa. Ini tentunya akan mempermudah cita-citamu untuk melanjutkan ke perguruan tinggi yang kamu inginkan, 99% tes perguruan tinggi pasti ada matematikanya. Ok, selamat mencoba

Segitiga

2011-09-11T03:51:00.006+07:00

Segitiga adalah bangun datar yang memiliki 3 sisi. Berdasarkan jenisnya maka ada 5 macam segitiga
1. Segitiga siku-siku : yaiyu segitiga yang salah satu sudutnya 90^o
2. Segitiga tumpul : segitiga yang salah satu sudutnya lebih besar dari 90^o
3. Segitiga lancip : segitiga yang setiap sudutnya lebih kecil dari 90^o
4. Segitiga sama kaki : segitiga yang memiliki 2 sisi yang sama bisa juga disebut segitiga yang memiliki 2 sudut yang sama
5. Segitiga sama sisi : segitiga yang memiliki 3 sisi yang sama, bisa juga disebut segitiga yang memiliki 3 sudut yang sama

Pada setiap segitiga, jumlah ketiga sudutnya adalah 180^o. Jadi, jika ada segitiga ABC maka

A + B + C = 180^o

Mengapa jumlah ketiga sudut pada segitiga 180^o?
sebelum menjawab ini kita lihat aturan perhitungan sudut sebagai berikut :
* satu putaran penuh = 360^o
* Setengah putaran = 180^o
* Seperempat putaran = 90^o
dan sebagainya

Jadi maksud dari pertanyaan di atas adalah buktikan bahwa jumlah ketiga sudut segitiga adalah setengah putaran.
Nah sekarang perhatikan gambar berikut :

Jadi

Jadi terbukti bahwa jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180^o

Luas segitiga
Untuk menghitung luas segitiga, ada beberapa rumus yang kita kenal,
1. Rumus paling sederhana

L = ½ at

a = alas
t = tinggi
Rumus ini adalah rumus yang dikenal oleh anak-anak sejak masih SD

2. Jika diketahui dua sisi dan 1 sudut

L =½ ab sin C
L =½ ac sin B
L = ½ bc sin A

Rumus ini biasanya dikenal anak-anak ketika mempelajari Trigonometri
3. Jika diketahui ketiga sisinya

Dengan S = ½ (a+b+c)

operasi aljabar pada bentuk akar

2011-09-07T08:47:00.000+07:00

Seringkali kita mengoperasikan aljabar dalam bentuk pangkat, akan tetapi setelah mempelajari ini, siswa masih kesulitan untuk memodifikasi dalam bentuk akar. Contohnya kita memiliki selisih 2 kuadrat sebagai berikut :

a² - b² = (a - b)(a + b)
maka bisa kita modifikasi sebagai berikut :
misal dan
maka bentuk di atas bisa diubah menjadi

atau bisa ditulis menjadi

dalam bentuk selisih pangkat tiga dan jumlah pangkat tiga, kita memiliki rumus sebagai berikut
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab +b² )
dan
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab +b² )
dengan mengganti
dan
maka bentuk selisih pangkat tiga menjadi

atau bisa ditulis menjadi :

untuk jumlah pangkat tiga bisa ditulis menjadi :

Salah hitung

2011-08-04T18:40:00.002+07:00

Suatu hari Rina dan Rini bertemu. Rina bertanya kepada Rini
Rina :"Saya beli buku tulis, harganya Rp 7000,-. Uang yang saya bawa Rp 12.000,-. Berapa kembalian yang saya terima?"
Rini :"Pasti Rp 5000,-"
Rina :"Salah"
Rini :"Ah engak ah"
Rina : "Pokoknya salah"
Rini :"Kan 12.000 - 7.000 = 5.000"
Rina : "Ya, itu benar hitunganmu, tapi prakteknya ga kaya gitu"
Rini :"Terus kamu dapat kembalian berapa?"
Rina :"Rp 3.000,-"
Rini :"Ih rugi dunk, kok kamu mau?"
Rina :"Ya mau, wong hitungannya benar kok"
Rini:"Kok bisa benar gimana?"
Rina :"Saya kan punya Rp 12.000,-. Berhubung harganya Rp 7000,- saya kan tidak perlu serahin semua uang, saya cukup serahin Rp 10.000,-. Jadi kembaliannya Rp 3.000,-"
Rini :"Benar juga ya"

Cara Lain Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

2011-06-26T15:35:00.007+07:00

Pada dasarnya ada 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan berikutnya dengan rumus ABC. Pernahkah terpikir oleh anda untuk menggunakan cara lain dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.

Cara lain yang pernah saya buat adalah metoda substitusi
Jika bentuk umum persamaan kuadrat adalah
ax² + bx + c = 0
maka kita tinggal mensubstitusikan

Contoh :
x²+2x - 8 = 0
misalkan

persamaan kuadrat menjadi :
x²+2x - 8 = 0
(y-1)²+2(y-1) - 8 = 0
y² - 2y + 1 + 2y - 2 - 8 = 0
y² = 9

x = y - 1 maka y = x + 1 sehingga persamaan menjadi :

x = -1 + 3 atau x = -1 - 3
x = 2 atau x = -4

Tahukah Anda?

2011-05-19T23:36:00.003+07:00

1³+2³=(1+2)²
1³+2³+3³=(1+2+3)²
1³+2³+3³+4³=(1+2+3+4)²
1³+2³+3³+4³+5³=(1+2+3+4+5)²
1³+2³+3³+4³+5³+6³=(1+2+3+4+5+6)²
1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³=(1+2+3+4+5+6+7)²
1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³=(1+2+3+4+5+6+7+8)²

dan seterusnya

Triple pythagoras

2011-03-16T00:06:00.004+07:00

Jika x, y, dan r merupakan sisi-sisi segitiga dan memenuhi persamaan x² + y² = r² maka segitiga tersebut pastilah siku-siku, dan dikatakan x, y, dan z adalah tripel pythagoras.

contoh-contoh bilangan yang mengandung triple pythagoras adalah sbb :
3, 4, 5
6, 8, 10
5, 12, 13
dan sebagainya

Untuk mencari triple pythagoras yang lain maka kita bisa menggunakan rumus-rumus sebagai berikut :
x = a²-b²
y = 2ab
r = x² + y²
dengan ketentuan a > b

Kita bisa memakai rumus tersebut sbb :

Dikali nol

2010-09-08T09:27:00.002+07:00

Mengapa setiap bilangan yang dikali nolsama dengan nol?

Pengertian dikali:
Misalnya anda ingin memahami mengama 5 dikali 100 sama dengan 500?

Anggap saya punya tas yang penuh berisi koin 100 an. Jika anda saya izinkan mengambil uang dari tas saya, dan setiappengambilan hanya boleh mengambil 1 koin, maka banyaknya uang yang dioeroleh tergantung dari berapa kali anda mengambilokoin. Misalnya jika anda mengambil 5 kali maka uang yang anda cdapat adalah 500.

Jika mengambil 10 kali,uang yang didapat sama dengan 10 x 100 =1000
Jika mengambil 5 kali,uang yang didapat sama dengan 5 x 100 = 500
mengambil 2 kali,uang yang didapat sama dengan 2 x 100 = 200
mengambil 1 kali,uang yang didapat sama dengan 1 x 100 = 1000

Jika anda mengambil 0 kali (tidak mengambil) otomastis anda tidak dapat uang, atau uang anda = 0

jadi 0 x 100 = 0

Dengan cara yang sama anda bisa mengganti 100 dengan bilangan lain, dan hasilnya pasti nol.

Ke Bulan Pakai Kertas

2010-08-12T06:38:00.001+07:00

Saat itu ada orang bermimpi ke bulan dengan ,memakai kertas karton. Caranya ? Jika kertas karton itu tebalnya 1 mm maka anda hanya perlu melipat kertas tersebut 43 kali. Dengan cara itu maka lipatan anda akan sampai ke bulan. Kok bisa?

Penjelasannya adalah sebagai berikut :
Yang harus kita sepakati adalah setiap kertas yang dilipat, ketebalannya akan menjadi dua kali lipatnya. OK? Kalau tidak percaya coba saja. Karton yang tebalnya 1 mm jika dilipat maka ketebalannya menjadio 2 mm. Dengan demikian kita akan mendapati karton-karton tersebut akan menjadi sebagai berikut.
Karton semula = 1 mm
Dilipat sekali menjadi 2 mm
Dilipat 2 kali menjadi 4 mm
Dilipat 3 kali menjadi 8 mm
Dilipat 4 kali menjadi 16 mm
Dilipat 5 kali menjadi 32 mm
Dilipat 6 kali menjadi 64 mm
Dilipat 7 kali menjadi 128 mm
Dilipat 8 kali menjadi 256 mm
Dilipat 9 kali menjadi 512 mm
…….
Dan seterusnya.
Perhatikan bahwa bilangan-bilangan tersebut memenuhi 2ⁿ
Dilipat 7 kali menjadi 128 mm = 2⁷
Dilipat 8 kali menjadi 256 mm = 2⁸
Dilipat 9 kali menjadi 512 mm = 2⁹
Dilipat 10 kali menjadi 1024 mm = 2¹⁰
….
Dan seterusnya.
Jika dilipat 43 kali akan menjadi
2⁴³ = 8796093022208

Woow nilai 87.96.093.022.208 mm tentunya setara dengan 87.96.093 km. Tentu saja lebih besar dibandingkan jarak bumi dan bulan.

Cerita Papan Catur

2010-07-31T06:45:00.001+07:00

Ada suatu cerita. Ketika itu ada seorang pemuda yang cukup bijaksana. Kebetulan dia telah berjasa kepada rajanya. Sang raja akhirnya berkata. Wahai pemuda, aku ingin memberikan hadiah kepadamu. Hadiah apa yang kamu inginkan. Sang pemuda menjawab ,”Wahai rajaku, aku hanya menginginkan butiran jagung. Saya mohon engkau sendiri yang meletakkan butiran jagung itu pada papan catur. Papan catur ini ada 64 kotak. Pada kotak pertama ditaruh satu butir jagung, pada kotak kedua sebanyak 2 kali kotak pertama, pada kotak ketiga 2 kali kotak kedua, pada kotak keempat 2 kali kotak ketiga begitu seterusnya sampai kotak yang ke 64.”

Sang raja berkata,”Itu saja yang kamu inginkan?” Sang pemuda menjawab iya. Kata raja,”Kamu ini permintaanmu sederhana sekali, padahal jika kamu minta apapun aku akan memenuhi.” Sang pemuda berkata ,”Ya baginda, saya hanya menginginkan itu saja. Akan tetapi kalau baginda tidak bisa memenuhi maka baginda harus menyerahkan istana ini kepada hamba.”

Sang raja berkata, “Baik, kalau itu saya pasti bisa.” Sang pemuda membuat kesepakatan dengan raja. Sang pemuda menghendaki perjanjian tertulis, jika raja tidak bisa memenuhi permintaannya maka isatana akan diberikan.” Sang raja setuju.

Akhirnya raja mulai mengumpulkan biji jagung

Pada kotak pertama diisi 1

Pada kotak ke 2 diisi 2

Pada kotak ke 3 diisi 4

Pada kotak ke 4 diisi 8

Pada kotak ke 5 diisi 16

Pada kotak ke 6 diisi 32

Pada kotak ke 7 diisi 64

Pada kotak ke 8 diisi 128

Pada kotak ke 9 diisi 256

Pada kotak ke 10 diisi 512

Pada kotak ke 11 diisi 1024

Pada kotak ke 12 diisi 2048

Pada kotak ke 13 diisi 4096

Pada kotak ke 14 diisi 8192

…….

Raja mulai kelelahan menghitung di sini. Akan tetapi dia harus memenuhi permintaan si pemuda. Raja menghitung terus, sampai kelelahan tidak selesai-selesai.

Akhirnya sang raja menyerah. Karena memang yang dihitung begitu banyak. Jumlah yang seharusnya dia hitung adalah 18446744073709551615. Jika sang raja menghitung satu butir selama 1 detik maka sang raja harus menghitung butiran tersebut selama 5124095576030431 jam, atau sama dengan 213503982334601 hari atau sama dengan 5849417355 tahun. Woow, waktu yang sangat lama.

Karena menyerah raja memberikan istananya kepada sang pemuda.

Penyelesaian Soal-Soal Menarik

2010-07-25T06:07:00.002+07:00

11. tan 1^o . tan 2^o . tan 3^o. tan 4^o ….. tan 89^o = ?

Jawab :
tan (90^o – x) = cot x
atau
tan (90^o – x) = 1/tan x
tan x . tan (90^o – x) = 1
Jika kita substitusikan nilai x dari 1^o sampai 44^o maka diperoleh
tan 1^o . tan 89^o = 1 ……………………(1)
tan 2^o . tan 88^o = 1 ……………………(2)
tan 3^o . tan 87^o = 1 ……………………(3)
……………………..
……………………..
……………………..
tan 44^o . tan 46^o = 1 ……………….(44)
satu lagi
tan 45^o = 1 ………………………….(45)
Jika persamaan (1) sampai (45) kita kalikan maka diperoleh
tan 1^o . tan 2^o . tan 3^o. tan 4^o ….. tan 89^o = 1

12. sin² 1^o + sin² 2^o + sin² 3^o + … + sin² 90^o = ..?

Jawab :
Karena
cos x = sin (90^o – x)
dan
sin² x + cos² x = 1

Jika kita mensubstitusikan nilai 1^o sampai 44^o maka diperoleh

sin² 1^o + cos² 89^o = 1 ……………(1)
sin² 2^o + cos² 88^o = 1 ……………(2)
sin² 3^o + cos² 87^o = 1 ……………(3)
sin² 4^o + cos² 86^o = 1 …………….(4)
……………………
……………………
……………………
sin² 44^o + cos² 46^o = 1 …………..(44)
Ingat :

Jika persamaan (1) sampai (45) kita jumlahkan maka diperoleh
sin² 1^o + sin² 2^o + sin² 3^o + … + sin² 90^o = 44,5

Kembali ke soal

Jika anda membutuhkan buku matematika SMA yang simple, mudah dan menarik, klik di sini

Penyelesaian Soal Menarik

2010-07-25T05:37:00.002+07:00

9. (x – a)(x – b)(x – c) …… (x – z) = …?

Jawab :
Bentuk di atas bisa kita tulis sebagai berikut
(x – a)(x – b)(x – c) ……(x – x)(x – y)(x – z)
Karena x – x = 0 maka hasil perkalian di atas adalah nol
Jadi
(x – a)(x – b)(x – c) ……(x – x)(x – y)(x – z) = 0

10. sin 1^o + sin 2^o + sin 3^o + sin 3^o + ….+ sin 360^o = …?

Jawab :
Perhatikan bahwa
sin (180^o + x ) = – sin x
sehingga
sin x + sin (180^o + x ) = 0

Jika kita mensubstisusikan nilai x mulai dari 1^o sampai 180 maka diperoleh
sin 1 ^o + sin 181^o = 0 ………… (1)
sin 2 ^o + sin 182^o = 0 …………..(2)
sin 3 ^o + sin 183^o = 0 …………..(3)
sin 4 ^o + sin 184^o = 0 ……………(4)
………………………..
………………………...
………………………..
sin 180 ^o + sin 360^o = 0 ……………(180)

Jika persamaan 1 sampai 180 kita jumlahkan maka diperoleh
sin 1^o + sin 2^o + sin 3^o + sin 3^o + ….+ sin 360^o = 0

Kembali ke soal

Anda butuh buku matematika SMA yang simpel mudah dan menarik? klik disini

Penyelesaian menarik

2010-07-25T04:55:00.001+07:00

7. Lima orang duduk bergantian pada sebuah kursi yang bisa dipakai 3 orang. Banyaknya cara mereka duduk adalah …

Jawab :
Cara pertama :
Banyaknya orang = 5
Banyaknya kemungkinan orang duduk pada kursi pertama = 5
Banyaknya kemungkinan orang duduk pada kursi kedua = 4
Banyaknya kemungkinan orang duduk pada kursi ketiga = 3
Banyaknya cara mereka duduk = 5 x 4 x 3 = 60

Cara kedua
Gunakan rumus permutasi

Cara ketiga : Cara manual
Jika 5 orang tersebut adalah A, B, C, dan D maka kemungkinan susunannya adalah sebagai berikut :
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
ABD ADB BAD BDA DAB DBA
ABE AEB BAE BEA EAB EBA
ACD ADC CAD CDA DAC DCA
ACE AEC CAE CEA EAC ECA
ADE AED DAE DEA EAD EDA
BCD BDC CBD CDB DBC DCB
BCE BEC CBE CEB EBC ECB
BDE BED DEB DBE EBD EDB
CDE CED DCE DEC ECD EDC

Jika kita hitung banyaknya kemungkinan di atas adalah 60

8. cos 6^o . cos 12^o . cos 18^o. cos 24^o ….. cos 174^o = …?

Jawab :
cos 6^o . cos 12^o . cos 18^o. cos 24^o ….. cos 174^o = …?

Jawab :
Bentuk di atas bisa kita tulis sebagai berikut :
cos 6^o . cos 12^o . cos 18^o. cos 24^o ….. cos 90^o……cos 174^o = …?
Karena cos 90^o = 0 maka hasil perkalian di atas adalah 0

Kembali ke soal

Solusi Soal Menarik

2010-07-25T03:56:00.001+07:00

5. Kani berbohong setiap hari senin, selasa, dan rabu, di hari lain dia selalu jujur
Kuna berbohong setiap hari kamis, jumat, dan sabtu. Di hari lain dia selalu jujur
Suatu hari mereka mengatakan hal yang sama
Saya kemarin bohong
Pertanyaannya : Hari apakah hari itu?

Jawab :
Kani Bohong : Senin, Selasa, Rabu
Kani jujur : Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu

Kuna Bohong : Kamis, Jumat, Sabtu
Kuna jujur : Minggu, Senin, Selasa, Rabu

Misal kejadian itu pada hari Minggu.
Memang hal itu bisa terjadi pada Kuna, karena Sabtu jadwal Kuna Bohong, sedangkan minggunya jujur. Akan tetapi hal ini tidak mungkin terjadi pada Kani, karena hari Sabtu Kani jujur.

Misal kejadian itu pada hari Senin.
Kani bisa saja mengatakan hal ini pada hari Senin, karena Senin jadwalnya bohong. Jika pada hari Senin dia mengatakan “Saya kemarin bohong”, ini arti sebenarnya pernyataan ini adalah saya kemarin jujur. Dan memang kenyataannya Kani jujur pada hari Minggu.
Namun, hal ini tidak mungkin terjadi pada Kani, karena baik Minggu maupun Senin Kani jujur.

Jadi, satu-satunya yang mungkin adalah pada hari Kamis. Kani memang bisa melakukan hal ini, karena memang Kamis adalah jadwal Kani jujur. Artinya jika pada hari Kamis Kani mengatakan “Saya kemarin bohong”, berarti pernyataan ini benar. Dan memang benar hari Rabu jadwalnya Kani Bohong. Pernyataan “Kemarin saya bohong” pada hari Kamis bisa saja terjadi pada Kuna, karena hari Kamis jadwalnya Kuna Bohong. Artinya jika pada hari kamis Kuna mengatakan “saya kemarin bohong” ini arti sebenarnya adalah “Saya kemarin jujur”, Dan memang benar, hari Rabu jadwalnya Kuna jujur.

Jadi, kesimpulannya adalah hari Kamis.

6. Seorang yang sangat miskin untuk keperluan mandinya mencari sabun mandi yang bekas (maksudnya yang sudah kecil). Setiap 5 sabun bekas dikumpulin dan dibuat menjadi 1 sabun utuh. Jika dia punya 25 sabun bekas, maka berapa sabun yang bisa dibuat?

Jawab :
Jika ada 25 sabun bekas, untuk sementara dia bisa membuat 5 sabun. Setelah 5 sabun tadi dipakai aka nada 5 sabun bekas yang kecil, sehingga total sabun yang bisa dibuat adalah 6.

Kembali ke soal

Soal-soal menarik

2010-07-19T11:19:00.011+07:00

1. Tentukan jumlah berikut
1 + 2 + 3 + 4 + …… + 100
solusi

2. Hasil kali bilangan berikut adalah …

solusi

3. Jika diketahui
a + b + c + d = 100
b + c + d + e = 26
c + d + e + f = 33
d + e + f + g = 60
e + f + g + h = 40
maka
a + b + c + d + e + f + g + h = …
solusi

4. Jika 5 ekor kambing memakan 5 lapangan rumput dalam 5 hari maka 7 ekor kambing mamakan 7 lapangan rumpu dalam … hari

solusi

5. Kani berbohong setiap hari senin, selasa, dan rabu, di hari lain dia selalu jujur. Kuna berbohong setiap hari kamis, jumat, dan sabtu. Di hari lain dia selalu jujur. Suatu hari mereka mengatakan hal yang sama, "Saya kemarin bohong".
Pertanyaannya : Hari apakah hari itu?

solusi

6. Seorang yang sangat miskin untuk keperluan mandinya mencari sabun mandi yang bekas (maksudnya yang sudah kecil).
Setiap 5 sabun bekas dikumpulin dan dibuat menjadi 1 sabun utuh. Jika dia punya 25 sabun bekas, maka berapa sabun yang bisa dibuat?

solusi

7. Lima orang duduk bergantian pada sebuah kursi yang bisa dipakai 3 orang. Banyaknya cara mereka duduk adalah …

solusi

8. cos 6^o . cos 12^o . cos 18^o. cos 24^o ….. cos 174^o = …?

solusi

9. (x – a)(x – b)(x – c) …… (x – z) = …?

solusi

10. sin 1^o + sin 2^o + sin 3^o + sin 3^o + ….+ sin 360^o = …?

solusi

11. tan 1^o. tan 2^o. tan 3^o. tan 4^o ….. tan 89^o = ?

solusi

12. sin² 1^o + sin² 2^o + sin² 3^o + … + sin² 90^o = ..?

solusi

Matematika cepat

solusi menarik

2010-07-18T00:08:00.003+07:00

1. Tentukan jumlah berikut

1 + 2 + 3 + 4 + …… + 100

Jawab :

Misal jumlahnya = x

maka :

1 + 2 + 3 + ……+ 98 + 99 + 100 = x

100 + 99 + 98 + ……+ 3 + 2 + 1 = x

Jika kedua persamaan dijumlahkan maka

101 + 101 + 101 + ……+ 101 + 101 + 101 = 2x

100 x 101 = 2x

10100 = 2x

x = 5050

Jadi jumlahnya 5050

2. Hasil kali bilangan berikut adalah …

Jawab :

Biasanya orang-orang lansung menyerah ketika menghadapi soal seperti ini. Akan tetapi jika kita agak jeli, sebenarnya bisa langsung mengurangkan setiap bilangan di dalam kurung

kembali ke soal

Solusi soal-soal menarik

2010-07-17T07:21:00.001+07:00

3. Jika diketahui
a + b + c + d = 100
b + c + d + e = 26
c + d + e + f = 33
d + e + f + g = 60
e + f + g + h = 40
maka
a + b + c + d + e + f + g + h = …

Coba perhatikan persamaan pertama dan terakhir.
a + b + c + d = 100
e + f + g + h = 40
Jika kedua persamaan dijumlahkan maka diperleh hasil sebagai berikut
a + b + c + d + e + f + g + h = 100 + 40 = 140

4. Jika 5 ekor kambing memakan 5 lapangan rumput dalam 5 hari maka 7 ekor kambing mamakan 7 lapangan rumpu dalam … hari

Perhatikan bahwa 5 ekor kambing memakan 5 lapangan rumput dalam 5 hari
Jika kambing diperbanyak maka waktu untuk menghabiskan semakin sedikit. Jika kambing lebih sedikit maka waktu untuk menghabiskan semakin besar. Jika banyaknya kambing dibagi 5 maka waktu yang dibutuhkan dikali 5.
Artinya 1 ekor kambing memakan 5 lapangan rumput dalam 25 hari
Jika banyaknya lapangan rumput kita perbanyak maka selesainya akan lebih lama, begitu pula jika lapangan rumputnya lebih sedikit maka selesainya akan lebih cepat.
Jika banyaknya lapangan rumput kita bagi 5 maka waktu makan harus kita bagi 5 sehingga
1 ekor kambing memakan 1 lapangan rumput dalam 5 hari
Jika banyaknnya lapangan rumput kita kali dengan 7 maka waktu makan harus kita kali dengan 7 sehingga
1 ekor kambing memakan 7 lapangan rumput dalam 35 hari
Jika banyaknya kambing kita kali dengan 7 maka waktu makan harus kita bagi dengan 7 sehingga
7 ekor kambing memakan 7 lapangan rumput dalam 5 hari
Jadi, jawabannya adalah 5 hari

kembali ke soal

Puisi Matematika

2010-04-18T17:15:00.001+07:00

Rasa sayangku padamu bagaikan bilangan positif
Tak memiliki ujung bak lingkaran
Begitu besar bagai bilangan berpangkat tak terhingga
Takkan terbagi-bagi laksana bilangan pirma

Engkau begitu istimewa, seistimewa bilangan kelipatan 9
Bila tak di sampingmu ku merasa kosong
Tak menentu bagaikan bilangan imajiner

Cintaku selalu tegak, setegak garis singgung lingkaran terhadap jari-jarinnya
Akan selalu utuh, seutuh bilangan bulat
Takkan terpecah bagai bilangan cacah

Ku harap... rasa sayangku dan sayangmu bagaikan sisi bujur sangkar
Memiliki besar cinta yang sama seperti sudut-sudut segitiga sama sisi
Tak berliku-liku bagai metode sinus cosinus

sumber : facebook ==> SOUL-MATE-MATIKA oleh BiBi Busrol Javaboy

Rumus Cepat Matematika

2010-04-11T00:39:00.003+07:00

Buku matematika praktis ala om son, adalah sebuah buku yang penuh dengan rumus-rumus cepat matematika, cara pemakaiannya dan contoh-contoh soal yang akurat dan terpercaya.Ini adalah buku rumus cepat matematika yang paling lengkap yang saya susun, sangat cocok untuk siswa SMA yang mau Ujuan Nasional atau mau test masuk perguruan tinggi.

Jika anda berminat, beli sekarang juga. Harga Rp 30.000,- (sudah termasuk ongkos kirim). Khusus untuk luar Jawa, tambahkan Rp 10.000,- untuk biaya pengiriman. Uang bisa anda transfer di rekening BCA cabang Bandung, nomor rekening 0161689075 atas nama Muhammad Son Muslimin. Untuk mempermudah kami dalam mendeteksi transfer anda, tambahkan 3 digit kode unik dari nomor belakang handphone anda. Misalnya nomor telepon anda adalah 081322424343, maka 3 digit angka anda adalah 343, sehingga biaya transfer anda adalah Rp 30.343,- atau Rp 40.343,-

Setelah anda transfer kirim sms ke 081322424343 atau 02291207872 dengan format
mat omson_Nama anda_biaya transfer_tgl/bulan tranfer_alamat anda

Jika saya cek ternyata sudah ditransfer, maka buku akan segera kami kirim.

Masalah matematika

2010-04-01T06:08:00.002+07:00

Ada seseorang yang akan menjual seekor ikan LouHan , harganya : Rp 75.000,- lalu minta tolong seorang calo untuk menjualkannya di pasar.
Kemudian ada 3 anak muda yang bersama-sama mau beli ikan itu, jadi setiap orang harus mengeluarkan uang sebesar @ Rp 25.000,- !! Benar 'kan ........ ???

Setelah terkumpul Rp 75.000,- .... kemudian uang itu diberikan pada calo itu ..... masih betul kan ??
Lalu calo itu membayarkan pada pemilik ikan sebesar Rp 70.000,- ( dia motong komisi sebesar @ Rp 5.000 ) , normal
kaaan ?

Dari hasil komisi sebesar Rp 5.000,- , tidak dimakan sendiri, tapi dengan tulus hati dibagikan pada ke-3 orang pembeli itu ,
masing-masing diberi @ Rp 1.000,- = Rp 3.000,- ; sisanya Rp 2.000,- untuk si calo itu !!
Semuanya ........ masih betul kan ???

Lalu disini baru timbul permasalahannya ?????

Seperti telah diberi tahu diatas , 3 anak muda itu masing-masing mengeluarkan uang sebesar @ Rp 25.000,- untuk
membayar harga ikan .....seharga Rp 75.000,- ..... dan uang itu diberikan kepada calo itu !! Betul tidak ... ??
Kemudian 3 anak muda terima uang dari calo itu @ Rp 1.000,- (pembagian komisi calo ) - jadi tiap anak muda itu mengeluarkan uang:
Rp 25.000,- - Rp 1.000,- = Rp 24.000,- ..........
benar kan ????????
Jadi perhitungan Matematika nya :
Pengeluaran uang membeli ikan : 3 x Rp 24.000,- = Rp 72.000,- ......... betul dong ??????
Kalau ditotal sama hasil komisi yang diterima si calo itu sebesar : Rp 2.000,-
maka hasilnya : Rp 72.000,- + Rp 2.000,- = Rp 74.000,- ..... bener kan ???

Pertanyaannya : KEMANA " HILANGNYA " UANG SEBESAR RP 1.000,- ITU

sumber : sahabatku Eri Jauhari

Bilangan Pi

2010-03-27T07:16:00.002+07:00

Bilangan yang dikenal siswa dengan 22/7 atau 3,14 hanyalah pendekatan untuk bilangan π (baca: Pi bukan Phi).

Tepatnya π = 3.14159265358979….
kalau 22/7 = 3.14285714285714…

Selisih = 0.00126448926734968… Selisihnya sih keliatannya sedikit, tetapi kalau diterapkan dalam perhitungan ketepatan rudal yg jaraknya ratusan Km maka selisih tsb jadi besar.Yang benar adalah menggunakan angka π, penggunaan 22/7 adalah untuk memudahkan dimana kita tidak harus menghafal angka π yg terdiri lebih dari 17 digit.Untuk akurasi yg tinggi tetap digunakan angka π.

Bilangan ini adalah nilai perbandingan keliling lingkaran dengan diameter lingkaran.
Perbandingan tersebut tetap untuk setiap lingkaran,berapa pun besarnya.

Lalu keistimewaan apa yang menjadikan π “raja” matematika?
Bilangan π dapat dikatakan sebagai karakteristik dari kurva lengkung.
Tanpa adanya bilangan π maka kita tidak dapat menangani dengan baik bangun bangun geometri yang memuat permukaan lengkung atau sisi lengkung, seperti lingkaran, ellips, bola, dan lain-lain.
Selain itu, bilangan π telah menimbulkan usaha yang luar biasa dalam perkembangan matematika, bilangan ini telah melahirkan pula bidang-bidang kajian yang menarik perhatian para matematikawan, seperti mencari nilai pendekatan dengan angka desimal terbanyak, meneliti sifat irasionalitas, masalah squaring a circle, transendental, normalitas bilangan, dan lain-lain.

Beberapa sifat matematik mengenai
bilangan π:
1) Luas ellips dengan sumbu mayor 2a dan minor 2b adalah πab.

2) Luas lingkaran = πr², luas pemukaan bola= 4πr², volum bola = 4/3.πr³ . dengan jari-jari r .

3) 180 derajat = π radian.

4) π irrasional

5) π transendental

6) π (diduga kuat) bersifat normal, distribusi angka-angkanya merata

7) π²/6 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² +....

8) π/2 = (2x2x4x4x6x6x.....)/(1x1x3x3x5x5x.....)

9) Nilai π dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

Fakta menarik lainnya adalah Anda tidak akan menemukan nol dalam 31 digit pertama pada nilai π.

Bilangan π dikenal dengan berbagai lambang pada zaman dahulu.
Al-Kasyi yang berhasil menghitung bilangan π hingga 16 desimal (terbanyak hingga zamannya) menulisnya dengan huruf “tho”, huruf ke-16 dalam huruf Arab.
Secara mengejutkan, lambang π yang kita gunakan sekarang juga huruf ke-16 dari alfabet Yunani.
Lambang π pertama kali digunakan oleh William Jones tahun 1706.

Baru setelah dipopulerkan oleh Euler, lambang π untuk perbandingan keliling dan diameter itu diterima secara luas.
Orang Babilonia dan Mesir Kuno belum secara eksplisit mengenal bilangan π, dan dalam perhitungan mereka kita dapatkan nilai untuk π yang masih kasar (belum cukup mendekati).
Baru sejak dibahas secara matematik oleh Archimedes yang mendapatkan bahwa 223/71 < π <22/7 , “pencarian” bilangan ini pun mulai mendapat perhatian serius.
Mulai dengan metode menghitung luas, penggunaan deret bilangan, trigonometri, hingga penggunaan metode peluang.
Perburuan desimal π dengan komputer pertama kali dirintis oleh komputer ENIAC (1949) yang dalam tempo 70 jam berhasil menghitung hingga 2037 tempat desimal.
Saat ini kecepatan komputer jauh lebih tinggi.
Matematikawan Jepang telah menghitungnya hingga 2 milyar desimal!

Euler pertama kali menyuguhkan masalah apakah π rasional atau bukan, termasuk aljabar atau transendental?
Masalah ini baru tuntas 107 tahun kemudian.
Bilangan π bersifat irasional (irrational number).
Dengan begitu pula, hampiran desimal yang terbaik untuk π telah menjadi bahan eksplorasi yang menggairahkan sejak berabad-abad yang lalu hingga kini.

Al-Biruni pada abad ke-11 telah menyarankan sifat irasionalitas π berdasarkan argumentasi geometrik.
Sifat irasionalitas π pertama kali dibuktikan dengan jelas oleh Lambert tahun 1767, lalu diikuti oleh bukti yang lebih baik oleh Legendre (1794).
Bilangan π juga bersifat transendental (non aljabar), artinya bilangan tersebut tidak dapat menjadi akar suatu polinom (persamaan suku banyak) dengan koefisien-koefisien bulat.
Bukti bahwa π transendental pertama kali diberikan oleh Lindemann tahun 1882.
Dengan terjawabnya sifat transendental π ini maka berakhir pula perburuan pemecahan atas masalah klasik sejak 20 abad sebelumnya, yaitu bagaimana melukis dengan jangka dan penggaris sebuah lingkaran yang memiliki luas sama dengan persegi yang diberikan (squaring of the circle).

Sumber : kelampok "SOUL-MATE-MATIKA" di facebook

Pola Bilangan

2010-02-19T03:24:00.001+07:00

Mungkin anda pernah melihat pola bilangan-bilangan yang terdiri dari 6 angka, jika kita kali dengan bilangan-bilanga tertentu maka angka-angkanya tidak berubah. Di sini akan saya bahas bilangan yang terdiri dari 18 angka , jika dikalikan dengan 2, 3, 4, 5, 6 .... sampai 18 maka susunan angka-angkanya tidak berubah. Bilangan itu adalah
z = 052.631.578.947.368.421
Sekarang jika bilangan itu dikalikan dengan 2, 3, 4, 5,.... dst sampai 18 maka akan kita peroleh sebagai berikut :
2z =105.263.157.894.736.842
3z =157.894.736.842.105.263
4z =210.526.315.789.473.684
5z =263.157.894.736.842.105
6z = 315.789.473.684.210.526
7z =368.421.052.631.578.947
8z =421.052.631.578.947.368
9z =473.684.210.526.315.789
10z =526.315.789.473.684.210
11z =578.947.368.421.052.631
12z =631.578.947.368.421.052
13z =684.210.526.315.789.473
14z =736.842.105.263.157.894
15z =789.473.684.210.526.315
16 z =842.105.263.157.894.736
17z =894.736.842.105.263.157
18z =947.368.421.052.631.578
Pola bilangan ini cukup aneh bukan?

Rumus Trapesium

2010-01-20T10:35:00.002+07:00

Pembuktian Rumus Luas Trapesium

Trapesiuma adalah segiempat yang memiliki sepasang sisi sejajar. Rumus luas trapesium sudah sangat dikenal oleh anak SD. Akan tetapi rata-rata mereka tidak mengetahui dari mana asalnya. Berikut ini akan kami jabarkan mengapa rumus luas trapesium adalah
L = 0,5 x jumlah sisi sejajar x tinggi

Perhatikan bahwa
b = x + a + y ...........................(1)
L₁ = 0,5 xt ..............................(2)
L₂ = at ....................................(3)
L₁ = 0,5yt ...............................(4)

L_trapesium = L₁ + L₂ + L₃
= 0,5 xt + at + 0,5 yt
= (0,5x + a + 0,5y)t
= 0,5(x + 2a + y)t
= 0,5(a + x + a + y)t
Dengan mensubstitusi persamaan (1) maka diperoleh
L_trapesium = 0,5(a + b) t
= 0,5 x jumlah sisi sejajar x tinggi

Belajar Matematika

2010-01-17T15:00:00.003+07:00

Seorang siswa mennyatakan keluhannya kepada gurunya.

Siswa : "Pak, kenapa ya saya kok tidak bisa matematika?"

Guru : "Kamu sih, tidak belajar"

Siswa : "Saya tiap hari belajar pak"

Guru : "Sampai jam berapa belajarmu?"

Siswa : "Sampai jam 2 malam pak"

Guru : "Wah hebat sekali ya, tapi kenapa kamu masih tidak bisa ya?"

Siswa :"Saya tidak tahu Pak"

Guru :"Itu tiap hari belajar sampai jam 2 malam, belajar maematika engga?"

Siswa : "Belajar matematika pak. Malahan saya hanya belajar matematika."

Guru :"Mulainya jam berapa ?"

Siswa : "Jam 2 kurang seperempat".

Link : Pythagoras

Bukti Pythagoras

2010-01-09T09:28:00.005+07:00

Luas total = luas persegi kecil + 4 . luas segitiga

(a + b)² = c² + 4 . ½ . ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² + b² = c²

Bukti pythagoras yang lain :

Bukti 1

Bukti 2

Rumus Persamaan Kuadrat

2010-01-01T05:08:00.004+07:00

Jika persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 kita selesaiakan maka kita peroleh

Dengan D = b² – 4ac

Untuk sifat diskriminan D = b² – 4ac silakan klik di sini

Link : bentuk kuadrat

Teka Teki Matematika

2009-12-31T13:45:00.001+07:00

Usia seorang ibu dua puluh satu tahun lebih tua dari pada anaknya. Enam tahun mendatang usia ibu lima kali lipat usia anaknya. Apa yang dilakukan ayahnya sekarang?

Jawab :
Mungkin anda kira soal ini main-main. Tetapi sebenarnya tidak, karena anda tidak akan bisa menjawab soal ini jika tidak menghitungnya. Sekarang marilah kita hitung :

Misalkan usia ibu = I
usia anak = A

Jadi, I = A + 21 ..............................(1)
Untuk enam tahun mendatang maka
I + 6 = 5(A + 6) ..............................(2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka
A + 21 + 6 = 5A + 30
- 4A = 3
A = -3/4

Ha ? kok bisa usia negatif?
Itu berarti anaknya belum lahir
Kira-kira ayahnya ngapain ya?
-3/4 tahun = - 9 bulan
Oh jadi itu kejadiannya 9 bulan sebelum anaknya lahir.
Itu berarti masih proses pembuatan anaknya,
Jadi ayahnya sedang menggauli ibunya

Link : bentuk kuadrat

Trapesium Samakaki

2009-12-14T02:45:00.001+07:00

Luas trapesium sering dinyatakan dengan jumlah sisi sejajar dikali setengah tinggi.
Dari manakah asalnya rumus itu? Marilah kita buktikan rumus di atas. Untuk lebih
mudahnya, saya mencoba membuktikan untuk trapesium sama kaki.

Perhatikan gambar berikut :

Perhatikan bahwa

L₁ = ½ xt dan L₃ = ½ xt

Jadi, L₁ = L₃ = ½ xt

Sedangkan L₂ = bt

L = L₁ + L₂ + L₃

= ½ xt + bt + ½ xt

= xt + bt = (x + b)t

= ½ (2x + 2b)t = ½ (2x + b + b ) t

= ½ (a + b) t

Link : bentuk kuadrat

Rumus Lingkaran

2009-12-10T21:59:00.001+07:00

Lingkaran memiliki rumus sebagai berikut :

Keliling = 2pR

Luas = pR²

Dengan nilai p »3,1415……

p diperoleh dengan membandingkan keliling dengan diameternya

p = K/d atau K = pd

Karena d = 2R maka K = 2pR

Perhatikan bahwa panjang busur AB adalah seperempat keliling lingkaran dan luas OAB adalah seperempat luas lingkaran. Nilai seperempat ini sebenarnya berasal dari 90^o/360^o, karena sudut AOB sama dengan 90^o.

Jika sudut AOB kita ganti a
maka bentuk 90^o/360^o berubah menjadi a/360^o

Perhatikan gambar berikut :

Dari gambar tersebut dapat
disimpulkan bahwa

Link : bilangan

Rumus Belah Ketupat

2009-12-09T06:54:00.001+07:00

Luas belah ketupat adalah

L = ½ d₁. d₂

Dengan d₁ adalah diagonal pertama dan d₂ adalah diagonal kedua.

Tidak ada aturan bahwa d₁ harus yang panjang atau yang pendek, begitu juga dengan d₂.

Yang jadi masalah, dari mana asal rumus ini ?

Sebelum mencarinya maka kita perlu tahu apa definisi dari belah ketupat.

Belah ketupat adalah sebuah segi empat yang diperoleh dengan mempertemukan alas dua
segitiga sama kaki yang kongruen

Dari gambar di atas bisa dilihat bahwa a = d₁ dan t = ½ d₂

Karena luas segitiga adalah L_s = ½ at maka luas belah ketupat adalah

L = 2 L_s = at = d₁. ½ d₂ = ½ d₁.d₂

Bilangan

Rumus ABC

2009-12-03T22:59:00.001+07:00

Bilangan

Matematika

2009-07-12T16:42:00.001+07:00

SEGERA TERBIT

"Buku MASTER SERI MATEMATIKA SMA"

PENERBIT ERLANGGA
(Kumpulan rumus cepat matematika yang benar dan akurat)

Penulis :
AbdulAziz, S.Si dan Muhammad Son Muslimin, ST

TESTIMONI

“Wow, Buku ini memberikan penyelesaian alternatif yang sangat cepat dan akurat “ –
Sarwadi Ph.D – ( Pembantu Dekan I Jurusan Matematika UNDIP)

” Buku ini menampilkan inovasi baru dalam menyelesaikan masalah matematika” – Dr. Widowati – ( Ketua Jurusan Matematika UNDIP )

”Buku ini memberikan penyelesaian yang cepat dan akurat tanpa meninggalkan kerangka teori yang ada ” –Farikhin M.Si –
(Dosen Luar Biasa UNDIP, Pakar International Mathematic Olympiad )

“ Buku ini penuh dengan kreativitas “
- Drs. Yitno Widya Saptono- (Ketua MGMP Matematika Kota Semarang)

” Kekuatan buku ini terletak pada kreativitasnya, sehingga bisa melengkapi kekurangan pada buku –
buku lainnya ” - Drs. Supriyanto - (ketua MGMP Fisika kota Semarang)

” Buku ini layaknya peta harta karun karena memuat rumus cepat dengan benar artinya rumus cepat karena kita benar – benar paham konsep
–Nanang Susyanto – Peraih
medali perunggu ajang IMC 2005 di Bulgaria

“Bukunya bagus....nggak cuma nampilin cara praktisnya aja tapi ada pembuktian rumus so nggak perlu ragu menggunakanya ”

Danang Setiabudi – SMA Taruna Nusantara – (
Peraih Medali Emas Bidang Matematika Ajang OSN 2006 dan 2007)

Buku yang bagus,tidak sekedar rumus cepat yang ditekankan melainkan bagaimana cara mencari rumus tersebut ”

Khoirulanam – Alumni SMA Semesta Semarang –
D Bogazici and D Metu University (Turki) (Peraih Medali Perak Bidang Matematika Ajang OSN 2007)

“ Bukunya hebat, penuh dengan soal – soal tantangan “

Ilman kurniadi Alumni SMA N 68 –Jakarta – (Mahasiswa Teknik Lingkungan ITB)

” Buku yang bagus, komplit,& gampang dimengerti...”

Yunita– Alumni SMA N 3 Semarang – ( Mahasiswi Farmasi UGM )

” Two tumbs up ! ga’ cuma tahu cara cepetnya aja, pembuktianya pun logis...pas buangeeet buat anak SMA.

Rahmat Adi Pamungkas – Alumni SMA N 5 Semarang – (Mahasiswa Tekhnik Elektro UNDIP )

“Bagi siapapun yang mencintai dan ingin mencintai matematika, wajib beli buku ini ”

Saraswati – Alumni SMA Kolose Loyola –

“ Buku ini layak dibaca bagi siapapun yang menginginkan belajar matematika secara menyenangkan “

Sartono Al Kadiri (Finalis Olimpiade mateamtika tingkat nasional 2006 )

pengkuadratan

Luas Jajaran genjang

2009-07-05T13:33:00.002+07:00

Jajaran genjang memiliki rumus Luas= alas x tinggi

Rumus luas jajaran genjang ini didapat dari bentuk berikut

Perhatikan bahwa jika L₃ dipindahkan ke kiri maka bentuknya menjadi
sbb:

Dari gambar terakhir ini jelas terlihat bahwa bentuknya menjadi sebuah persegi panjang dengan panjang a dan lebar t, sehingga luasnya menjadi

L = axt

Luas = alas x tinggi

pengkuadratan

Eksponen

2009-06-30T07:11:00.001+07:00

Kenapa

a^x.a^y = a^x+y?

Perhatikan bahwa

a^x = a.a.a.a….a (sebanyak x)

a^y = a.a.a.a….a (sebanyak y)

maka

a^x.a^y = a.a.a.a….a (sebanyak x). a.a.a.a….a (sebanyak y)

a^x .a^y= a.a.a.a….a (sebanyak x + y)

a^x.a^y = a^x+y

Kenapa a^x/a^y = a^{x - y}?

Dengan memakai bentuk di atas maka

a^x/a^y = {a.a.a.a….a (sebanyak x)} : { a.a.a.a….a (sebanyak y)}

a^x /a^y= a.a.a.a….a (sebanyak x – y )

Kenapa a^x/a^y = a^{x – y}

Kenapa a^o= 1?

Perhatikan bahwa

a^{x – y} = a^x/a^y

Jika kita pilih x = p dan y = p maka

a^{p – p} = a^p /a^p

(Perhatikan
bahwa ruas kiri pangkatnya habis (nol), sedangkan ruas kanan pembilang dan
penyebutnya sama. Dengan demikian ruas kanan bernilai satu)

Jadi

a^o = 1

pengkuadratan

Logaritma

2009-06-30T06:53:00.001+07:00

Kita seringkali memakai rumus

^alog b + ^alog c = ^alog bc

^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

akan tetapi banyak di antara kita yang tidak tahu dari mana asalnya rumus ini. Melalui
postingan ini saya akan mencoba membuktikan kedua rumus tersebut.

Jika a^x = b maka x = ^alog b

Jika a^y = c maka y = ^alog c

Jika kita menglikan a^x dengan a^y maka

a^x.a^y = bc

a^x+y = bc

x+y = ^alog(bc)

^alog b + ^alog c = ^alog bc

Jika kita membagikan a^x dengan a^y maka

a^x/a^y = b/c

a^{x – y} = b/c

x – y = ^alog (b/c)

^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

sinus lurus

Pythagoras

2009-05-18T09:04:00.001+07:00

Rumus Pythagoras bisa dibuktikan sebagai berikut. Misalkan kita memiliki segitiga
siku-siku berikut :

Jikasegitiga diputar 90^o searah jarum jam maka akan kita peroleh segitiga berikut (gambar putus-putus). Jika segitiga yang putus-putus ini kita geser maka kita peroleh sebagai berikut

Bentuk di atas bisa kita anggap sebagai trapesium. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut

Luas trapesium tersebut sama dengan jumlah luas tiga buah segitiga
L = 2L₁ + L₂

½ (a + b)(a+ b) = 2. ½ ab + ½ c²
(a + b)² = 2ab + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

Maka terbuktilah rumus pythagoras

sinus lurus

Luas Segitiga

2009-04-02T19:30:00.001+07:00

Luas segitiga sering dituliskan ½ alas ´ tinggi.

Rumus ini begitu mudah dibuktikan.

Jika segitiga tersebut segitiga siku-siku maka pembuktiannya sebagai berikut

Tampak bahwa luas yang diarsir adalah setengah luas persegi panjang sehingga L = ½ a´t

Jika segitiga tersebut merupakan segitiga lancip maka buktinya sebagai berikut

Luas ABCD = yt ¾® L_I = ½Luas ABCD = ½ yt

Luas CDEF = xt ¾® L_II = ½Luas CDEF = ½ xt

Luas DACE = L_I + L_II = ½ yt + ½ xt = ½ (y + x) t = ½ at

Untuk segitiga tumpul, luasnya tetap ½ at dengan bukti sbb :

Luas DPQS = Luas DPRS -
Luas DQRS = ½ (a + b)t - ½ bt = ½ at + ½ bt - ½ bt = ½ at

sinus lurus

Phytagoras

2009-03-09T19:23:00.001+07:00

Apa yang bisa disimpulkan dari segitiga berikut ?Pada segitiga ini pasti bisa disimpulkan kalau a² + b² = c²

Tapi bagaimana membuktikan rumus ini ?

Salah satu bukti adalah sbb :

KL = LM = MN = NP = c

SM = TN = UK = VL = b

SL = TM = UN = KV = a

ST = TU = UV = VS = b – a

Luas DSLM = Luas DTMN = LuasDUNK = LuasDVKL

Luas KLMN = Luas STUV + 4 × Luas SLM

c²= (b – a)² + 4 . ½ . ab

c²= b² – 2ab + a² + 2ab

c²= b² + a²

a²+ b² = c²

Angka berulang

Penguraian bentuk kuadrat

2009-01-08T21:26:00.001+07:00

Seperti kita ketahui bahwa jika kita menguraikan bentuk kuadrat (a+b)^2 bisa kita peroleh sebagai berikut

(a + b)^2 = (a + b)(a + b)= a(a + b) + b(a + b)
= a^2 + ab + ba + b^2
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2

Jika kita menguraikan bentuk (a - b)^2 maka bisa kita peroleh sebagai berikut

(a - b)^2 = (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b)
= a^2 - ab - ba + b^2
= a^2 - ab - ab + b^2
= a^2 - 2ab + b^2

Pembuktian seperti di atas merupakan pembuktian dengan aljabar. Kita bisa juga membuktikan bentuk di atas dengan geometri, caranya adalah sebagai berikut

Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Sedangakan (a - b)^2 bisa kita dapat dari gambar geometri sebagai berikut

Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Dengan cara ini kita bisa menguraikan (a + b+ c)^2 dengan memakai gambar geometri sehingga diperoleh

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

atau kita bisa juga menguraikan (a + b + c + d)^2 dengan memakai geometri sehingga diperoleh

(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Bahkan kita bisa juga menguraikan (a + b)^3 dengan menggambar kubus sehingga diperoleh

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

ok, selamat mencoba membuktikan 3 kesamaan di atas

angka berulang

bilangan 666...666

2008-12-28T21:07:00.001+07:00

Pernahkah menjumlahkan bilangan asli sampai 6, atau 66, atau 666 ? Di sini akan kita jumpai keunikan-keunikan tertentu
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211
1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111
1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111
1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111
1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111
Tapi kalau kita buat soal dengan membalik kondisi di atas, mungkin soal ini akan mirip sama soal olimpiade atau berbau olimpiade.
misalnya

1 + 2 + 3 + ...+ n = 222...222111...111 (banyak angka 1 dan 2 masing-masing 2008 digit)
Tentukan nilai n

Para pembaca pasti bisa menebak jawabannya adalah 666...666 (sebanyak 2008 digit), karena melihat pola soal di atas. Gimana kalau kita tidak melihat soal d atas? Gimana pula menjawabnya secara umum?

Angka berulang

Pola-pola pengkuadratan bilangan dan aljabar yang menarik

2008-12-27T16:42:00.001+07:00

Pernahkan terfikir olehmu untuk mengkuadratkan bilangan 1, 11, 111, dst. Perhatikan bahwa pengkuadratan bilangan ini memiliki pola-pola sebagai berikut :

1^2 = 1

11^2 = 121

111^2=12321

1111^2= 1234321

11111^2=123454321

111111^2=12345654321

1111111^2=1234567654321

11111111^2=123456787654321

111111111^2=12345678987654321

Perhatikan bahwa bentuk pengkuadratan bilangan di atas mirip dengan bentuk pengkuadratan aljabar sebagai berikut

(x+1)^2=x^2+2x+1

(x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1

(x^3+x^2+x+1)^2

=x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1

(x^4+x^3+x^2+x+1)^2

=x^8+2x^7+3x^6+4x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1

dst

Perkenalan

sinus lurus

2008-12-10T06:22:00.001+07:00

seorang guru bertanya kepada muridnya yang namanya iwan

Guru : Iwan, grafik sinus bentuknya seperti apa?
Iwan : lurus bu
Guru : Lho, kok bisa? coba jelaskan
Iwan : Ya gampang aja bu, sumbu tegaknya sumbu y, dan sumbu mendatarnya sumbu sin x
Guru : ???

(Bagi yang bingung, grafik y= x adalah lurus, karean sumbu koordinat adalah x dan y

Jika dibuat grafik y = p maka grafik ini akan lurus asalkan sumbu koordinat adalah sumu y dan p

Grafik y = sin x akan lurus jika sumbu koordinat adalah sumbu y dan sin x)

Perkenalan

Angka berulang

2008-11-22T02:46:00.001+07:00

Ada suatu bilangan, jika bilangan itu dikali dengan 2, 3, 4 dan 5 maka akan diperoleh bilangan yang angka-angkanya dibolak-balik dari angka-angka semula. woow, bilangan apa itu? Bilangan itu adalah

142857

Jika dikali 2 maka diperoleh bilangan 285714
Jika dikali 3 maka diperoleh bilangan 428571
Jika dikali 4 maka diperoleh bilangan 571428
Jika dikali 5 maka diperoleh bilangan 714285
Jika dikali 6 maka diperoleh bilangan 857142

Aneh bukan? Apakah masih ada bilangan yang lain yang seperti itu? Jawabannya adalah ada. Bilangan itu adalah

076923

Bilangan ini saya anggap terdiri dari 6 angka (setengah memaksa) , yaitu menambahkan angka nol di depannya. Bilangan itu kita perlakukan sebagai berikut
Jika dikali 3 maka diperoleh bilangan 230769
Jika dikali 4 maka diperoleh bilangan 307692
Jika dikali 9 maka diperoleh bilangan 692307
Jika dikali 10 maka diperoleh bilangan 769230
Jika dikali 12 maka diperoleh bilangan 923076

Sekarang bilangan 076923 kita perlakukan sebagai berikut
Jika dikali 2 maka diperoleh bilangan 153846
Jika dikali 5 maka diperoleh bilangan 384615
Jika dikali 6 maka diperoleh bilangan 461538
Jika dikali 7 maka diperoleh bilangan 538461
Jika dikali 8 maka diperoleh bilangan 615384
Jika dikali 11 maka diperoleh bilangan 846153

Nah bilangan-bilangan ini memiliki sifat-sifat seperti itu, memang aneh dan tidak biasanya. Pertanyaannya adakah bilangan dengan digit yang lebih banyak yang memiliki sifat seperti itu ? Jawabannya ADA. Bilangan itu nanti akan saya bahas pada materi berikutnya. Selamat belajar.
(Muhammad Son Muslimin)

Perkenalan

2008-11-22T02:25:00.000+07:00

Hai, saya adalah Muhammad Son Muslimin. Saya adalah pengajar matematika di sebuah bimbingan belajar di Bandung, tepatnya di Sony Sugema College (SSC) Bandung. Saya juga mengajar di sebuah SMA milik SSC, SMA Alfa Centauri. Di SMA ini saya melatih olimpiade matematika. Untk itu blog ini saya susun sebagai sarana untuk mengkomunikasikan masalah matematika.